系列文章目录

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复指数信号

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一、复指数信号的物理意义

回想一下之前讲过的用复指数信号表示$f(t)=\cos wt$和$f(t)=\sin wt$，
$f(t)=\cos wt=\frac{1}{2}{e}^{jwt}+\frac{1}{2}{e}^{-jwt}$
$f(t)=\sin wt=\frac{1}{2}{e}^{jwt}-\frac{1}{2}{e}^{-jwt}$
我们会发现会出现负的频率(-w),一般来说，频率都是正的，如我们经常说市电的频率是50Hz而不说-50Hz，应该如何理解$e^{jwt}$的物理意义呢？
先看看$e^{jwt}$的物理意义：$e^{jwt}=\cos wt+j\sin wt$表示一个初始相位为零的单位旋转向量，该向量的模为1，在实轴上的投影为$\cos wt$，在虚轴上的投影为$\sin wt$。

这一点在很多书中都会提到，但是讲傅里叶变换时很少有书将复指数的物理意义联系起来。
加上时间轴t，我们来看旋转向量的三维图：

注：x轴为实轴，y轴为虚轴。

旋转向量在x-y面的投影：

旋转向量在x-t平面的投影：

旋转向量在y-t平面的投影：

$e^{jwt}$中的w为正值时，向量逆时针旋转；w为负值时，向量顺时针旋转。这就解释了负频率的物理意义：正频率代表向量逆时针旋转，负频率代表向量顺时针旋转。

二、余弦信号和正弦信号的三维频谱图

前面我们了解了复指数的物理意义，接下来我们来以余弦信号为例，具体地分析，从而加深对复指数信号物理意义的理解。

余弦信号

$f(t)=\cos w_{0}t=\frac{1}{2}{e}^{j{w}_{0}t}+\frac{1}{2}{e}^{-j{w}_{0}t}$
频谱图：

结合复指数的物理意义，我们可以将幅度-频谱图和相位频谱图画在同一张三维的频谱图中，这样我们就可以把傅里叶系数看得清楚些：x轴为实数轴，y轴为虚数轴，z轴为频率轴，所有初始位置的向量构成了信号的复傅里叶系数。
$f(t)=\cos w_{0}t$的三维频谱图：

t=0时刻，两个向量的位置如上图所示，这两个向量的位置就是$f(t)=\cos w_{0}t$的复傅里叶系数，之后$w=w_0$处的向量以$w_0$的角速度逆时针旋转，$w=-w_0$处的向量以$w_0$的角速度顺时针旋转，两向量合成的信号就是余弦信号，如图所示：

注意t=0时刻，两向量的初始位置位于实轴上，也就是说$f(t)=\cos w_{0}t$的复傅里叶系数是实数。

正弦信号

$f(t)=\sin w_{0}t$的三维频谱图：
$f(t)=\sin w_{0}t=\frac{j}{2}{e}^{j{w}_{0}t}-\frac{j}{2}{e}^{-j{w}_{0}t}$

t=0时刻，两向量的位置如上图所示，这两个向量就是$f(t)=\sin w_{0}t$的复傅里叶系数，后$w=w_0$处的向量以$w_0$的角速度逆时针旋转，$w=-w_0$处的向量以$w_0$的角速度顺时针旋转，两向量合成的信号就是正弦信号，如图所示：

注意：t=0时刻，两向量的初始位置不在实轴上，也就是说$f(t)=\sin w_{0}t$的复傅里叶系数是虚数。

三.周期信号的三维频谱图

前面我们以$f(t)=\cos wt$和$f(t)=\sin wt$为例，解释了复傅里叶分解的物理意义，接下来我们看一下一般的周期信号复傅里叶分解的物理意义。
复指数形式的傅里叶系数展开式：
$f(t)={\sum }_{k=-\infty }^{\infty }{c}_k{e}^{jk{w}_{0}t}$
可以将f(t)理解为一系列旋转向量的合成信号，初始位置的各旋转向量就是复傅里叶系数$c_k$。

蓝色向量就是t=0时刻的旋转向量，即f(t)的复傅里叶系数。
注意：上面三维频谱图对应的f(t)是个实信号,其三维频谱图中正频率部分的向量和负频率部分的向量共轭对称。

注意：
1、由于初始相位关于实轴对称，旋转角速度相同，旋转方向相反，合并后的旋转向量只在实轴上有分量，在虚轴上没有分量。得到这样的结论是因为：我们分析的信号本身是实信号。
2、正负频率对应的复傅立叶系数合并，是向量相加，不是简单的幅度相加。

四.复数乘法的几何意义

在复指数形式的傅里叶级数展开式中：$c_k{e}^{jkwt}$为展开后的基本项，如何理解这些基本的项呢：
$c_k$为虚数，$e^{jkiwt}$也为虚数，这些基本项就相当于是两个虚数相乘。
下面我们来了解一下虚数相乘的几何意义：
考虑两个一般的复数$z_1,z_2$，假定：
$z_1=r_1{e}^{j{\Theta }_1}=r_1(\cos {\Theta }_1+j\sin {\Theta }_1)$
$z_2=r_2{e}^{j{\Theta }_2}=r_2(\cos {\Theta }_2+j\sin {\Theta }_2)$
则$z_1{z}_2=r_1(\cos {\Theta }_1+j\sin {\Theta }_1)\cdot r_2(\cos {\Theta }_2+j\sin {\Theta }_2)=r_1{r}_2(\cos {\Theta }_1+j\sin {\Theta }_1)(\cos {\Theta }_2+j\sin {\Theta }_2)=r_1{r}_2[(\cos {\Theta }_1\cos {\Theta }_2-\sin {\Theta }_1\sin {\Theta }_2)+j(\cos {\Theta }_1\sin {\Theta }_2+\sin {\Theta }_1\cos {\Theta }_2)]=r_1{r}_2[\cos ({\Theta }_1+{\Theta }_2)+j\sin ({\Theta }_1+{\Theta }_2)]=r_1{r}_2{e}^{{\Theta }_1+{\Theta }_2}$
总结:两复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辐角等于各复数辐角的和。
在复平面上，复数对应向量，上面的表述可以转换为:两个向量相乘，积的模等于各向量模的积，积的辐角等于各向量辐角的和。
具体到：$c_k{e}^{jkwt}$就是：
$c_k$是一个一般向量，
$e^{jkiwt}$初始位置位于实轴上，模为1，旋转角速度为$k{w}_0$的旋转向量。
两个向量相乘得到的是：以$c_k$代表的向量为初始位置，模为$|c_k|$，旋转角速度为$k{w}_0$的旋转向量，如下图所示，$c_k$代表的向量记为f，$\Theta =k{w}_{0}t$

t=0时刻，$c_k{e}^{jk{w}_{0}t}$就是向量f(黑色)；
t时刻，$c_k{e}^{jk{w}_{0}t}$旋转到红色向量位置。

五.利用李萨育图形认识复信号

通过前面的讲解，使我们对实信号有了一定的认识，那么如何理复信号呢？
我们回忆一下物理中学过的李萨如图：当我们使用互相成谐波频率关系的两个信号分别作为X和Y偏转信号送入示波器时，这两个信号分别在X轴、Y轴方向同时作用于电子束而描绘出稳定的图形，这些稳定的图形就叫“李萨育图形”，如下图所示：

第一个图：$x=\cos (2\pi ft)$,$y=\sin (2\pi ft)$
电子波束在平面上的运动轨迹：$f(t)=\cos (2\pi ft)+j\sin (2\pi ft)=e^{2\pi ft}$
是我们很熟悉的旋转向量，实际上就是一个复信号，不仅在x轴上有分量，在y轴上也有分量。
第一个图：$x=\cos (2\pi ft)$,$y=\sin (4\pi ft)$
电子波束在平面上的运动轨迹：$f(t)=\cos (2\pi ft)+j\sin (4\pi ft)=e^{2\pi ft}$第一个图：$x=\cos (2\pi ft)$,$y=\sin (6\pi ft)$
电子波束在平面上的运动轨迹：$f(t)=\cos (2\pi ft)+j\sin (6\pi ft)=e^{2\pi ft}$第一个图：$x=\cos (2\pi ft)$,$y=\sin (8\pi ft)$
电子波束在平面上的运动轨迹：$f(t)=\cos (2\pi ft)+j\sin (8\pi ft)=e^{2\pi ft}$第一个图：$x=\cos (2\pi ft)$,$y=\sin (10\pi ft)$
电子波束在平面上的运动轨迹：$f(t)=\cos (2\pi ft)+j\sin (10\pi ft)=e^{2\pi ft}$
附：画出李萨育图形的matlab程序：

for f=1 :5 ;
t=0:0.001:1000;
x= cos (2*pi*t);
y= sin (2*pi*f*t) ;
subplot(1,5,f) ;plot(x,y) ;
axis equal;
axis off;
end;

六.实信号和复信号的波形对比

在下面两张图中：x轴（实轴）、y轴（虚轴）所在的平面是复平面，t轴（时间轴）垂直于复平面。
实信号f(t)=cos(2πt)的波形图：

复信号f(t)=cos(2πt)+jsin(2πt)的波形图：

对比这两张图，很容易得出：实信号在复平面上投影时只有实轴方向有分量，而复信号在复平面上投影时实轴和虚轴方向都有分量。
Matlab程序：

t=0:0.001:10;
x=cos(2*pi*t);
subplot(2,1,1);plot3(x,t,0*t);
set(gca,'YDir','reverse');
grid on;

x=cos(2*pi*t) ;
y=sin(2*pi*t) ;
subplot(2,1,2);plot3(x,t,y);
set(gca,'YDir','reverse');
grid on;

李萨育图形中的第2张图:

t=0:0.001:10;
x=cos(2*pi*t) ;
y=sin(4*pi*t) ;
plot3(x,t,y);
set(gca,'YDir','reverse');
grid on;
<hr style=" border:solid; width:100px; height:1px;" color=#000000 size=1">

总结

首先分析实信号分解成复信号的过程，然后分析补充了一些关于复数的知识，引出复信号，将实信号与复信号进行对比，通过画图直观形象地展示了复信号的概念，为接下来的分析做好准备。