【学习笔记】傅里叶变换：方形函数，三角函数

F(ω)=∫−t0t0A⋅e−jωtdtF\left( \omega \right) =\int ^{t_{0}}_{-t_{0}}A\cdot e^{-j\omega t_{dt}}F(ω)=∫−t0t0A⋅e−jωtdt=Ajω(ejωt0−e−jωt0)=\dfrac {A}{j\omega }\left( e^{j\omega t_{0}}-e^{-j\omega t_{0}}..

时空昂

21940人浏览 · 2020-03-24 23:42:20

时空昂 · 2020-03-24 23:42:20 发布

方形函数：

方形函数图像
$F\left( \omega \right) =\int ^{t_{0}}_{-t_{0}}A\cdot e^{-j\omega t}{dt}$
$=\dfrac {A}{j\omega }\left( e^{j\omega t_{0}}-e^{-j\omega t_{0}}\right)$
$=\dfrac {A}{j\omega }\cdot 2j\sin \omega t_{0}$
$=A\cdot \dfrac {2t_{0}\sin \omega t_{0}}{\omega t_{0}}$
$=2At_{0}\cdot S_{a}\left( \omega t_{0}\right)$
即： $\begin{aligned}A\left[ u\left( t+t_{0}\right) -u\left( t-t_{0}\right) \right] \Leftrightarrow 2At_{0}Sa\left( \omega t_{0}\right) \end{aligned}$

三角函数：

**
三角函数图像
先特殊化：令 $t_{0}$ =1,A=1;
则： $F\left( \omega \right) =\int ^{0}_{-1}\left( 1+t\right) e^{-j\omega t}dt+\int ^{1}_{0}\left( 1-t\right) e^{-j\omega t}dt$
分部积分：
$=\begin{bmatrix} \left( 1+t\right) \cdot e^{-j\omega t} \\ \overline {-j\omega } \end{bmatrix}^{0}_{-1}+\int ^{0}_{-1}\dfrac {e^{-j\omega t}}{j\omega }dt+\begin{bmatrix} \left( 1-t\right) \cdot e^{-j\omega t} \\ \overline {-j\omega } \end{bmatrix}^{1}_{0}+\int ^{1}_{0}\dfrac {e^{-j\omega t}}{j\omega }d\left( 1-t\right)$
$=\dfrac {1}{-j\omega }+\dfrac {1-e^{j\omega }}{\omega ^{2}}+\dfrac {1}{j\omega }+\dfrac {1-e^{-j\omega }}{\omega ^{2}}$
$=\dfrac {2-e^{j\omega }-e^{-j\omega }}{\omega ^{2}}$
又因为： $\cos w=1-2sin^{2}\dfrac {\omega }{2}$

所以化简得： $F\left( \omega \right) =Sa^{2}\dfrac {\omega }{2}$

同理，一般化可得： $F\left( \omega \right) =At_{0}Sa^{2}\dfrac {\omega t_{0}}{2}$

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